【特例探究】
$(1)$如图①,在正方形$ABCD$中,$E$、$F$分别是$AB$,$BC$边上的点,且$\angle EDF=45^{\circ}$,探究图中线段$EF$,$AE$,$FC$之间的数量关系.
小明想到了其中一种解题思路是:延长$BC$到$M$,使$CM=AE$,连接$DM$,先证明$\triangle ADE$≌$\triangle CDM,$再证明$\triangle DEF$≌$\triangle DMF.$即可得出结论:$EF=AE+FC$,小明在证明$\triangle ADE$≌$\triangle CDM$时用到的全等判定定理是______$;$在证明$\triangle DEF$≌$\triangle DMF$时用到的全等判定定理是______.
【探索延伸】
$(2)$如图②,在四边形$ABCD$中,已知$AB=AD$,$\angle D+\angle ABC=180^{\circ}$,$\angle EAF=\frac{1}{2}\angle BAD$,且$BE=4$,$EF=14$,求$DF$的长.
【实践运用】
$(3)2024$年$10$月$13$日,中国人民解放军东部战区组织四大军种在台湾岛四周开展"联合利剑$-2024B$"军演,以震慑"台独"分裂势力谋"独"行径.如图③,在这次军事演习中,西宁舰在台湾岛$(O$处）北偏西$30^{\circ}$的$A$处,无锡舰在台湾岛南偏东$70^{\circ}$的$B$处,并且两舰艇到台湾岛的距离相等,接到行动指令后,西宁舰向正东方向以$80$海里$/$小时的速度前进,$4$小时后,无锡舰沿南偏西$50^{\circ}$的方向以$80$海里$/$小时的速度前进,再过$1$小时后,西宁舰、无锡舰分别到达$E$,$F$处,且两舰艇之间的夹角$\angle EOF$为$70^{\circ}$,则此时两舰艇之间的距离为______海里.