如图，在边长为$1$的正方形网格中，$\triangle ABO$的顶点均在格点上，点$A$，$B$的坐标分别是$A(2,2)$，$B(1,3)$，把$\triangle ABO$绕点$O$逆时针旋转$90°$后得到$\triangle A_{1}B_{1}O.$
$(1)$画出$\triangle A_{1}B_{1}O$，直接写出点$A_{1}$，$B_{1}$的坐标；
$(2)$计算在旋转过程中，$\triangle ABO$所扫过的面积．
$(3)$以原点$O$为位似中心，位似比为$2$，在第三象限画出$\triangle ABO$放大后的$\triangle A_{2}B_{2}O.$