如图，在平面直角坐标系中，$\triangle ABC$的三个顶点的坐标分别为$A(0,3)$、$B(3,4)$、$C(2,2)($正方形网格中每个小正方形的边长为$1$个单位长度$).$
$(1)$画出$\triangle ABC$向下平移$4$个单位长度得到的$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$，点$C_{1}$的坐标是 ______；
$(2)$以点$B$为位似中心，在网格中画出$\triangle A_{2}BC_{2}$，使$\triangle A_{2}BC_{2}$与$\triangle ABC$位似，且位似比为$2$：$1$；
$(3)$求出$\triangle A_{2}BC_{2}$的面积．