如图，在平面直角坐标系$xOy$中，$\triangle ABC$三个顶点坐标分别为$A(-2,4)$，$B(-2,1)$，$C(-5,2).$
$(1)$请画出$\triangle ABC$关于$x$轴对称的$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$；
$(2)$将$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以$-2$，得到对应的点$A_{2}$，$B_{2}$，$C_{2}$，请画出$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$；
$(3)\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$是$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$的位似图形吗？如果是，请写出位似中心的坐标；
$(4)$设$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$的面积为$S_{1}$，$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$的面积为$S_{2}$，求$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$与$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$的面积比，即$S_{1}$：$S_{2}.$