如图$1$,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB=60^{\circ}$,点$D$在$BC$上任意一点,连接$AD$.

$(1)$如图$1$,$AC=6$,$D$为$BC$中点,$tan∠B=\frac{\sqrt{3}}{2}$,求$AD$的长；
$(2)$如图$2$,若$AC=BD$,$E$为$AD$的中点,猜想$CE$与$AB$之间的数量关系,并证明你的猜想；
$(3)$如图$3$,点$P$为$AB$边上一动点,连接$DP$,将线段$DP$绕点$D$按顺时针方向旋转$90^{\circ}$至$DQ$,连接$AQ$、$CQ$,已知$\angle ABC=45^{\circ}$,$BC=8$,$BD=2$,当$\triangle CAQ$周长取得最小值时,请直接写出此时$\triangle CAQ$的面积.