如图$1$，$P$是抛物线$y=x^{2}-4x+3$上的一个动点，过点$A(-2,0)$引射线$AP$，在射线上取点$M$，使$AP=PM.$
$(1)$当射线$AP$在$x$轴上时，$PM$的长为 ______，点$M$的坐标为 ______；
$(2)$请在图$2$中描出点$P$运动过程中对应的$M$，再用平滑的曲线连接起来，猜想曲线是什么函数的图象，并求点$M$所在曲线的函数的最小值．