$(1)$如图$1$,正方形$ABCD$中,点$P$为线段$BC$上一个动点,若线段$MN$垂直$AP$于点$E$,交线段$AB$于$M$,$CD$于$N$.求证:$AP=MN$；
$(2)$如图$2$,正方形$ABCD$中,点$P$为线段$BC$上一动点,若线段$MN$垂直平分线段$AP$,分别交$AB$、$AP$、$BD$、$DC$于点$M$、$E$、$F$、$N$.求证:$EF=ME+FN$；
$(3)$在（2）的条件下,若正方形$ABCD$的边长为$\sqrt{2}$,则线段$EF$的最大值$=\_\_\_\_\_\_.$