综合实践


问题情境:数学活动课上,王老师出示了一个问题:
如图$1$,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,点$D$是$BC$边上一点,连接$AD$,$BE$平分$\angle ABC$交$AD$于点$E$,点$F$是$AC$上一点,连接$FE$并延长交$BC$于点$G$,$\angle AEF=\angle ABD$,求证:$\angle BAD=\angle CGF$.
$(1)$独立思考:求证:$\angle BAD=\angle CGF$.
$(2)$实践探究:在同学们独立完成后,王老师又提出了新问题,求证$DG=AF$,王老师的问题引发了同学们的思考,各小组进行了积极的讨论,仍不得其解.王老师给出提示:"数学中常通过把一个问题特殊化来找到解题思路.""善思小组"的同学茅塞顿开,在对上述问题进行特殊化研究之后发现,如图$2$,当$AB=BD$时,很容易发现$AE=DE$,请你完成图$2$特殊情况下的证明$DG=AF$.
$(3)$问题解决:相信你从上面也得到了启发,参将"善思小组"的思路,请你在图$1$中完成王老师的问题,证明$DG=AF$.