如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$AC=BC=4cm$,点$D$是斜边$AB$的中点,点$E$从点$B$出发以$1cm/s$的速度向点$C$运动,点$F$同时从点$C$出发以一定的速度沿射线$CA$方向运动,规定:当点$E$到终点$C$时停止运动；设运动的时间为$x$秒,连接$DE$、$DF$.
$(1)$填空:$S_{\triangle ABC}= \_\_\_\_\_\_cm^{2}$；
$(2)$当$x=1$且点$F$运动的速度也是$1cm/s$时,求证:$DE=DF$；
$(3)$若动点$F$以$3cm/s$的速度沿射线$CA$方向运动；在点$E$、点$F$运动过程中,如果有某个时间$x$,使得$\triangle ADF$的面积与$\triangle BDE$的面积存在两倍关系,请你直接写出时间$x$的值；