如图$1$,点$A$在$y$轴正半轴上,点$B$在负半轴上,点$C$和点$D$分别在第四象限和第一象限,$OA=OB$,$OC=OD$,$OC\bot OD$,点$D$的坐标为$\left(4,2\right)$.

$(1)$求证:$AC\bot BD$；
$(2)$如图$2$,点$P$,$Q$分别在$y$轴正半轴和$x$轴负半轴上,且$OP=OQ$,直线$ON\bot BP$交$AB$于点$N$,$MN\bot AQ$交$BP$的延长线于点$M$,判断$ON$,$MN$,$BM$的数量关系并证明.