定义:如果两个一元一次方程的解之和为$1$,我们就称这两个方程为"美好方程".例如:方程$4x=8$和$x+1=0$为"美好方程".
$(1)$若关于$x$的方程$3x+m=0$与方程$4x-2=x+10$是"美好方程",求$m$的值；
$(2)$若"美好方程"的两个解的差为$8$,其中一个解为$n$,求$n$的值；
$(3)$若关于$x$的一元一次方程$\frac{1}{2023}x+3=2x+k$和$\frac{1}{2023}x+1=0$是"美好方程",利用整体思想,求关于$y$的一元一次方程$\frac{1}{2023}(y-1)+3=2(y-1)+k$的解.