如图,在平面直角坐标系中,$\triangle AOP$为等边三角形,$A$点坐标为$\left(0,1\right)$,点$B$为$y$轴上位于$A$点上方的一个动点,以$BP$为边向$BP$的右侧作等边$\triangle PBC$,连接$CA$,并延长$CA$交$x$轴于点$E$.
$(1)$求证:$OB=AC$；
$(2)$当点$B$在运动时,$AE$的长度是否发生变化?请说明理由；
$(3)$在（2）的条件下,在$y$轴上是否存在点$Q$,使得$\triangle AEQ$为等腰三角形?若存在,请求出点$Q$的坐标；若不存在,请说明理由.