已知二次函数$C_{1}$:$y=mx^{2}-2mx+3\left(m\neq 0\right)$.
$(1)$有关二次函数$C_{1}$的图象与性质,下列结论中正确的有______$.(填序号)$
①二次函数$C_{1}$的图象开口向上；
②二次函数$C_{1}$的图象的对称轴是直线$x=1$；
③二次函数$C_{1}$的图象经过定点$\left(0,3\right)$和$\left(2,3\right)$；
④函数值$y$随着$x$的增大而减小.
$(2)$当$m=1$时,①抛物线$C_{1}$的顶点坐标为______；
②将抛物线$C_{1}$沿$x$轴翻折得到抛物线$C_{2}$,则抛物线$C_{2}$的表达式为______；
$(3)$设抛物线$C_{1}$与$y$轴相交于点$E$,过点$E$作直线$l$∥$x$轴,与抛物线$C_{1}$的另一交点为$F$,将抛物线$C_{1}$沿直线$l$翻折,得到抛物线$C_{3}$,抛物线$C_{1}$,$C_{3}$的顶点分别记为$P$,$Q$.是否存在实数$m$,使得以点$E$,$F$,$P$,$Q$为顶点的四边形为正方形?若存在,请求出$m$的值；若不存在,请说明理由.