【教材呈现】
$(1)$如图$1$,在正方形$ABCD$中,$E$是$BC$上的一点,$\triangle ABE$经过旋转后得到$\triangle ADF$,①旋转中心是点______；旋转角度最少是______度.
②爱动脑筋的小明,在$CD$边上取点$G$使得$\angle GAE=45^{\circ}$,他发现:$GE=BE+DG$,他的发现正确吗?请你判断并说明理由.
【结论应用】
$(2)$①图$1$中,若正方形$ABCD$的边长为$a$,则$\triangle CEG$的周长为______(用含有$a$的式子表示）
②如图$2$,在四边形$ABCD$中$AD$∥$BC\left(BC \gt AD\right),\angle B=90^{\circ}$,$BC=AB=6$,$E$是$AB$上一点,且$\angle DCE=45^{\circ}$,$BE=2$,则$DE$的长$=\_\_\_\_\_\_.$
【类比迁移】
$(3)$如图$3$,在菱形$ABCD$中,$\angle ABC=60^{\circ}$,$\angle MAN=60^{\circ}$,$BM=3$,$DN=2$,求$MN$的长.