已知,如图抛物线$y=x^{2}+bx+c\left(a \gt 0\right)$与$y$轴交于点$C$,与$x$轴交于$A$,$B$两点,点$A$在点$B$左侧.点$B$的坐标为$\left(1,0\right)$,$OC=3OB$.
$(1)$求抛物线的解析式.
$(2)$点$M$是抛物线对称轴$l$上的一个动点,当$MB+MC$的值最小时,求点$M$的坐标.
$(3)$若点$D$是线段$AC$下方抛物线上的动点,求四边形$ABCD$面积的最大值.