【问题$1$】在$\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$D$为$\triangle ABC$内一点,连接$BD$,$DC$,延长$DC$到点$E$,使得$CE=DC$.
$(1)$如图$1$,延长$BC$到点$F$,使得$CF=BC$,连接$AF$,$EF$.若$AF\bot EF$,求证:$BD\bot AF$；
$(2)$依题意补全图$2$,连接$AE$,交$BD$的延长线于点$H$,连接$CH$.若$AB^{2}=AE^{2}+BD^{2}$,用等式表示线段$CD$与$CH$的数量关系,并证明.
【问题$2$】如图$3$,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,如果点$F$为线段$BC$上一动点,点$G$为线段$AC$上一动点,且$AG=CF$,连接$AF$、$BG$,且$BC=1$,$AC=3$,请直接写出$BG+AF$的最小值为______.