$(1)$善于思考的小明在解方程组$\begin{cases}\dfrac{m+n}{2}+\dfrac{m-n}{3}=3\\ \dfrac {m+n}{2}-\dfrac{m-n}{3}=-1\end{cases}$时，采用了一种“整体思想”的解法，把$\dfrac{m+n}{2}$和$\dfrac{m-n}{3}$各看作一个整体，分别设为$a$，$b$，先求出$a$，$b$的值，再进一步求解$m$，$n.$
解：设$a=\dfrac{m+n}{2}$，$b=\dfrac{m-n}{3}$，则原方程组可化为$\begin{cases}{a+b=3①}\\ {a-b=-1②}\end{cases}$，补全解题过程．
$(2)$若关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}x^{2}(m^{2}x^{2}-n^{2}y^{2})-(n^{2}y^{2}-m^{2}x^{2})=2p^{2}\\ mx+ny=p\\ mx-ny=1\end{cases}$，$($其中$m$，$n$，$p$均为不等于$0$的常数$)$，则$x^{2}+2mx+1=$______$.($用含$p$的代数式表示$)$