综合与探究
如图,已知抛物线$y=x^{2}+bx+c$经过点$A\left(1,0\right)$,$C\left(0,-3\right)$,$B\left(n,0\right)$,连接$AC$,点$M$是$AC$的中点,抛物线的对称轴交$x$轴于点$F$,连接$FM$.
$(1)$求抛物线的解析式及$n$的值；
$(2)$点$D$在抛物线的对称轴上,若$\triangle ACD$的周长最小,则点$D$的坐标为______；
$(3)$求线段$FM$的长及$\angle AFM$的度数；
$(4)$若点$N$是$x$轴上一动点,则在坐标平面内是否存在点$E$,使以点$F$、$M$、$N$、$E$为顶点的四边形是正方形?若存在,请直接写出点$E$的坐标；若不存在,请说明理由.