如图,$Rt\triangle ABC$中,$\angle ABC=90^{\circ}$,$AB=4$,$AC=5$,动点$P$从点$A$出发,沿着折线$A\rightarrow B\rightarrow C$匀速运动,到达$C$点时停止,设点$P$运动路程为$x$,$\triangle PAC$的面积为$y($注:三角形的面积不能为$0)$.

$(1)$请直接写出$y_{1}$关于$x$的函数表达式,并注明自变量$x$的取值范围；
$(2)$在平面直角坐标系中画出$y_{1}$与$x$的函数图象,并写出它的一条性质；
$(3)$已知函数$y_{2}=\frac{4}{5}x\left(0 \lt x \lt 7\right)$,根据图象直接写出当$y_{1} \gt y_{2}$时$x$的取值范围.