如图$1$,以$Rt\triangle ABC$的直角边$AB$为直径画$\odot O$,过$A$作斜边$AC$的垂线交$\odot O$于点$D$,连结$CD$,交$\odot O$于点$E$,交$AB$于点$F$,连结$BE$.
​
$(1)$求证:$\angle ACD=\angle EBC$.
$(2)$如图$2$,当$\triangle ABC$是等腰直角三角形时.
①求$\angle BCD$的正切值；
②求$\frac{CE}{BE}$的值.
$(3)$若$AB=1$,设$CD=x$,$\frac{CE}{EF}=y$,求$y$关于$x$的函数表达式.