如图$1$,$\triangle ABC$是直角三角形,$\angle C=90^{\circ}$,$BC=4$,$AC=3$,点$P$从点$B$出发,以每秒$1$个单位长度的速度沿着$B-C-A$方向运动到$A$点停止,设$y=S_{\triangle ABP}$,点$P$的运动时间为$x$秒.

$(1)$直接写出$y$与$x$之间的函数表达式,并写出对应$x$的取值范围.
$(2)$在平面直角坐标系中画出$y$的图象,并写出$y$的一条性质.
$(3)$结合作出的图象直接写出它与函数$y=x+1$相交时$x$的值.(保留一位小数,误差不超过$0.2)$