脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活.如图①是政府给贫困户新建的房屋,如图②是房屋的侧面示意图,它是一个轴对称图形,对称轴是房屋的高$AB$所在的直线.为了测量房屋的高度,在地面上$C$点测得屋项$A$的仰角为$35^{\circ}$,此时地面上$C$点、屋檐上$E$点、屋顶上$A$点三点恰好共线,继续向房屋方向走$8m$到达点$D$时,又测得屋檐$E$点的仰角为$55^{\circ}$,房屋的顶层横梁$EF=12m,EF$∥$CB,AB$交$EF$于点$G($点$C$,$D$,$B$在同一水平线上$).($参考数据:$\sin 35^{\circ}\approx 0.6,\cos 35^{\circ}\approx 0.8,\tan 35^{\circ}\approx 0.7,\sin 55^{\circ}\approx 0.8,\cos 55^{\circ}\approx 0.6,\tan 55^{\circ}\approx 1.4)$
$(1)$求屋项到横梁的距离$AG$；
$(2)$求房屋的高$AB$.