我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，如图①所示，四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长分别为$a$、$b$，斜边长为$c.$

$(1)$试用图①证明勾股定理；
通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．图②是棱长为$a+b$的正方体，被如图所示的分割线分成$8$块．
$(2)$用不同方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式为 ______；
$(3)$已知$a+b=4$，$ab=2$，利用上面的等式求$a^{3}+b^{3}$值为 ______.