如图,在平面直角坐标系中,直线$l_{1}$:$y=kx+b$经过点$B\left(0,4\right)$,与$x$轴相交于点$A$,与直线$l_{2}$:$y=\frac{3}{2}x$相交于点$C$,点$C$的横坐标为$2$,点$M$为$x$轴上一动点,横坐标为$m$.

$(1)$求直线$l_{1}$的表达式.
$(2)$过$M$作$y$轴的平行线,分别交直线$l_{1}$,直线$l_{2}$于点$D$,$E$,连接$DE$.
①当$m=3$时,求$DE$的长；
②当$DE=6$时,请直接写出$m$的值.
$(3)$若点$M$在射线$AO$上,连接$CM$,当$\angle CMO=2\angle BAO$时,请直接写出点$M$的坐标.
$(4)$在（3）的条件下,当$m \gt 0$时,将$\triangle CAM$绕点$A$顺时针方向旋转$60^{\circ}$,得到$\triangle C_{1}AM_{1}$,其中$C$的对应点为$C_{1}$,$M$的对应点为$M_{1}$,连接$CM_{1}$,直接写出$CM_{1}$的长.