一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法．如图，火柴盒的一个侧面$ABCD($是一个长方形$)$倒下到$AB'C'D'$的位置，连接$CC'$，设$AB=a$，$BC=b$，$AC=c.$
$(1)$试用$a$、$b$有关的代数式表示梯形$BCC'D'$的面积；
$(2)$试用$a$、$b$、$c$有关的代数式分别表示$\triangle ABC$、$\triangle AD'C'$、$\triangle AC'C$的面积；
$(3)$由$(1)$和$(2)$的结论证明勾股定理：$a^{2}+b^{2}=c^{2}.$