已知抛物线$y=ax^{2}+bx+3$与$x$轴相交于$A\left(-1,0\right)$,$B\left(3,0\right)$两点,与$y$轴相交于点$C$.
$(1)$求抛物线的解析式；
$(2)$在抛物线的对称轴上是否存在一点$P$,使得$\triangle PAC$的周长最小,若存在,请求出点$P$的坐标及$\triangle PAC$的周长；若不存在,请说明理由；
$(3)$在（2）的条件下,在$x$轴上方的抛物线上是否存在点$M($不与$C$点重合）,使得$S_{\triangle PAM}=S_{\triangle PAC}$?若存在,请求出点$M$的坐标；若不存在,请说明理由.