已知抛物线$y=x^{2}-2x-3$与$x$轴交于$A$、$B$两点（点$A$在点$B$左侧）,与$y$轴交于点$C$.
$(1)$求$A$、$B$、$C$三点的坐标；
$(2)$经过$A$、$B$两点作$\odot M$,交抛物线于点$D($点$D$在对称轴右侧),若$\angle DMB=90^{\circ}$,求点$M$的坐标；
$(3)$如图,点$Q$是抛物线对称轴上,纵坐标为$-\frac{{15}}{4}$的点,点$E$是对称轴上抛物线下方的动点,以点$Q$为圆心,$QE$为半径作圆交抛物线于点$F($点$F$在对称轴的右侧）,求证:直线$EF$与抛物线有唯一公共点.