如图$1$.直线$l_{1}$:$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+3\sqrt{3}$与$x$轴、$y$轴分别交于$C$、$D$两点,直线$l_{2}$与$x$轴、$y$轴分别交于$A\left(3,0\right)$,$B$两点,与直线$l_{1}$交于点$Q\left(6,a\right)$,点$P$为线段$DQ$上一动点.
$(1)$求直线$l_{2}$的解析式；
$(2)$已知在$y$轴上有一动点$E$,直线$l_{2}$上有一动点$F$,连接$PE$,$PF$,$EF$,当$\triangle PBD$面积为$6\sqrt{3}$时,求$\triangle PEF$周长的最小值；
$(3)$如图$2$,在（2）的条件下,将直线$l_{2}$沿$CD$方向平移,使其平移后的直线$l_{3}$恰好经过点$P$,平移后点$B$的对应点为${B\’}$,点$M$为$y$轴上一动点,点$N$为平面内任意一个动点,是否存在点$M$和对应的点$N$,使得以点$P$,${B\’}$,$M$,$N$为顶点的四边形是菱形?若存在,直接写出点$N$的坐标；若不存在,请说明理由.