模型探究:
$(1)$如图$1$,在等腰直角三角形$ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$CB=CA$,直线$ED$经过点$C$,过$A$作$AD\bot ED$于点$D$,过$B$作$BE\bot ED$于点$E$.求证:$BE=CD$；
模型应用:
$(2)$已知直线$l_{1}$:$y=2x+4$与坐标轴交于点$A$、$B$,将直线$l_{1}$绕点$A$逆时针旋转$90^{\circ}$至直线$l_{2}$,如图$2$,求直线$l_{2}$的函数表达式；
$(3)$如图$3$,已知点$A$、$B$在直线$y=\frac{1}{2}x+4$上,且$AB=4\sqrt{2}$.若直线与$y$轴的交点为$M$,$M$为$AB$中点.试判断在$x$轴上是否存在一点$C$,使得$\triangle ABC$是以$AB$为斜边的等腰直角三角形.