如图,直线$l_{1}$:$y=x+2$与$x$轴交于点$A$,直线$l_{2}$:$y=kx+b(k$、$b$为常数,且$k\neq 0)$与$x$轴交于点$B\left(4,0\right)$,直线$l_{1}$与$l_{2}$交于点$C\left(2,n\right)$.
$(1)$求点$C$的坐标及直线$l_{2}$的函数表达式；
$(2)$若点$D$是线段$BC$上一个动点,点$D$的横坐标是$m$,$\triangle ADB$的面积是$S$,请求出$S$与$m$之间的函数关系式；
$(3)$在$y$轴上是否存在点$P$,使得$PB+PC$的值最小?若存在,求出点$P$的坐标及这个最小值；若不存在,请说明理由.