如图，正方形$ABCD$中，$AB=4$，点$E$是对角线$AC$上的一点，连接$DE.$过点$E$作$EF⊥ED$，交$AB$于点$F$，以$DE$、$EF$为邻边作矩形$DEFG$，连接$AG.$

$(1)$求证：矩形$DEFG$是正方形；

$(2)$求$AG+AE$的值；

$(3)$若$F$恰为$AB$中点，连接$DF$交$AC$于点$M$，请直接写出$ME$的长．