在一次函数的学习中,我们经历了"画出函数的图象——根据图象研究函数的性质——运用函数的性质解决问题"的学习过程,结合上面的学习过程,解决下面的问题:对于函数$y=|x|+2$.
$(1)$请用你喜欢的方法在给出的平面直角坐标系中,直接画出函数$y=|x|+2$的图象；
$(2)$小明同学通过图象得到了以下性质,其中正确的有______$(填序号)$；
①当$x \lt 0$时,$y$随$x$的增大而增大,当$x \gt 0$时,$y$随$x$的增大而减小；
②当$x=0$时,此函数有最大值为$2$；
③此函数的图象关于$y$轴对称.
$(3)$已知点$A\left(-3,-1\right)$、$B\left(4,-1\right)$.那么在函数$y=|x|+2$的图象上是否存在一点$P$,使得$\triangle ABP$的面积为$21$.若存在,求出所有满足条件的点$P$坐标；若不存在,请说明理由.