如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=ax^{2}+bx+4\left(a\neq 0\right)$经过点$\left(-1,6\right)$,与$x$轴交于点$A\left(-4,0\right)$,$B$两点,与$y$轴交于点$C$.

$(1)$求抛物线的解析式；
$(2)$点$P$是直线$AC$上方抛物线上一动点,过点$P$作$PD$∥$y$轴交$AC$于点$D$,求$PD$的最大值及此时点$P$的坐标；
$(3)$将该抛物线沿$x$轴向右平移$\frac{5}{2}$个单位长度得到新抛物线${y\’}$,新抛物线${y\’}$的对称轴交$x$轴于点$M$,点$N$是直线$AC$上一点,在平面内确定一点$K$,使得以$C$,$M$,$N$,$K$为顶点的四边形是以$CN$为边的菱形,写出所有符合条件的点$K$的坐标,并写出求解点$K$坐标的其中一种情况的过程.