如图,平面直角坐标系中,$O$是坐标原点,直线$y=kx+15\left(k\neq 0\right)$经过点$C\left(3,6\right)$,与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B$.线段$CD$平行于$x$轴,交直线$y=\frac{3}{4}x$于点$D$,连接$OC$,$AD$.
$(1)$填空:$k=$______,点$A$的坐标是______；
$(2)$求证:四边形$OADC$是平行四边形；
$(3)$动点$P$从点$O$出发,沿对角线$OD$以每秒$1$个单位长度的速度向点$D$运动,直到点$D$为止；动点$Q$同时从点$D$出发,沿对角线$DO$以每秒$1$个单位长度的速度向点$O$运动,直到点$O$为止.设两个点的运动时间均为$t$秒.当点$P$,$Q$运动至四边形$CPAQ$为矩形时,请直接写出此时$t$的值.