如图$B$,$E$,$C$,$F$共线,$EF$为半圆$O$的直径,$\triangle ABC$为等边三角形,点$B$与点$F$重合,$BC=EF=4$,现将半圆$O$沿直线$l$以每秒$1$个单位长度的速度向右移动,当半圆$O$与$AB$相交时,交点为$P$,运动时间为$t$秒.

$(1)$过点$A$作半圆$O$的切线,切点为$Q$,当$t=2$时,求$\widehat {EQ}$的长；
$(2)$如图②,连接$PE$,当$\angle PEF=15^{\circ}$时,求$PB$的值；
$(3)$如图③,当$\triangle OBP$为等腰三角形时,求$t$的值.