定义:已知一次函数$f\left(x\right)=kx+m\left(k\neq 0\right)$与二次函数$g\left(x\right)=ax^{2}+bx+c\left(a\neq 0\right)$,我们把函数$h\left(x\right)=a\left[f\left(x\right)\right]^{2}+bf\left(x\right)+c$称为$f\left(x\right)$与$g\left(x\right)$的"复合函数".
例如:一次函数$f\left(x\right)=x+1$与二次函数$g\left(x\right)=x^{2}+x+1$的"复合函数"为$h\left(x\right)=\left(x+1\right)^{2}+\left(x+1\right)+1=x^{2}+3x+3$.
已知一次函数$f\left(x\right)=x-1$与二次函数$g\left(x\right)=ax^{2}+bx+c\left(a\neq 0\right)$,函数$h\left(x\right)$为$f\left(x\right)$与$g\left(x\right)$的"复合函数".
$(1)$如果$h\left(x\right)$的图象上存在不同的两点$\left(m,n\right)$与$\left(2-m,n\right)$,求$b$的值；
$(2)$如果$h\left(x\right)$的图象经过原点,那$g\left(x\right)$的图象是否经过某一定点$P$?若经过,求出点$P$坐标,若不经过,请说明理由；
$(3)$如果$h\left(x\right)$的图象同时满足$\left(1\right)\left(2\right)$的条件,记$h\left(x\right)$的图象与$x$轴的另一个交点为点$A$,记$g\left(x\right)$的图象与$y$轴的交点为点$B$,则$f\left(x\right)$的图象上是否存在点$C$,使得以$A$、$B$、$C$、$P$四点为顶点所组成的凸四边形为中心对称图形?若存在,求出所有满足条件的中心对称图形的对称中心坐标,若不存在,请说明理由.