如图,直线$l_{1}$的函数表达式为$y=2x-2$,直线$l_{1}$与$x$轴交于点$D$,直线$l_{2}$:$y=kx+b$与$x$轴交于点$A$,且经过点$B$,如图所示,直线$l_{1}$,$l_{2}$交于点$C\left(m,2\right)$.
$(1)$求点$C$的坐标和直线$l_{2}$的函数表达式；
$(2)$利用函数图象直接写出关于$x$的不等式$2x-2\leqslant kx+b$的解集.