设二次函数$y=2x^{2}+bx+c(b,c$是常数$)$的图象与$x$轴交于$A$，$B$两点．
$(1)$若$A$，$B$两点的坐标分别为$(1,0)$，$(2,0)$，求函数$y_{1}$的表达式及其图象的对称轴．
$(2)$若函数$y_{1}$的表达式可以写成$y_{1}=2(x-h)^{2}-2(h$是常数$)$的形式，求$b+c$的最小值．
$(3)$设一次函数$y_{2}=x-m(m$是常数$)$，若函数$y_{1}$的表达式还可以写成$y_{1}=2(x-m)(x-m-2)$的形式，当函数$y=y_{1}-y_{2}$的图象经过点$(x_{0},0)$时，求$x_{0}-m$的值．