数学爱好者小陶发现,$\triangle ABC$内角$\angle BAC$的角平分线$AD$和外角$\angle BCH$的角平分线$CD$交于点$D$,连接$BD$,他猜想$BD$平分外角$\angle GBC$.
$(1)$用尺规完成以下基本作图:过点$D$作$AG$的垂线交$AG$于点$M.(不说明理由,只保留作图痕迹)$；
$(2)$在（1）所作的图形中,求证:$\angle GBD=\angle CBD$.
小陶的思路是这样的,过点$D$作$DE\bot BC$于点$E$,过点$D$作$DF\bot AH$于点$F$,由角平分线的性质得$DM=DF$,$DE=DF$,等量代换可得$DM=DE$,再证明$\angle GBD$和$\angle CBD$这两个角所在的三角形全等得出结论.请根据这个思路补全下面的证明过程.
证明:$\because AD$是$\angle BAC$的角平分线,$DM\bot AG$,$DF\bot AH$,
$\therefore$①______.
$\because CD$是$\angle BCH$的角平分线,$DE\bot BC$,$DF\bot AH$,
$\therefore DE=DF$.
$\therefore$②______.
$\because DM\bot AG$,$DE\bot BC$,
$\therefore \angle DMB=\angle DEB=90^{\circ}$,
在$Rt\triangle DMB$和$Rt\triangle DEB$中,
$\left\{\begin{array}{l}{DM=DE,}\\{③(),}\end{array}\right.$
$\therefore Rt\triangle DMB$≌$Rt\triangle DEB($④______$).$
$\therefore \angle GBD=\angle CBD$.
由此他得到结论:
三角形一个内角的角平分线和另一个外角的⑤______的交点与三角形第三个顶点所连线段平分此外角.