在等腰$\triangle ABC$中,$AB=AC=nBC$,点$D$和点$E$分别为$AC$和$BC$边上的点,$AD=CE$,$AE$与$BD$相交于点$F$.

$(1)$当$n=1$时,
①如图$1$,直接写出$\angle AFD$的度数；$\angle AFD=\_\_\_\_\_\_.$
②如图$2$,若$AF=2BF$,作$AG\bot BD$,垂足为$G$点,连接$CG$,求证:$GF=GC$.
$(2)$当$n=\frac{3}{2}$时,如图$3$,若$AE+BD$取得最小值,求出$\frac{BE}{EC}$的值.