在等腰$\triangle ACD$和等腰$\triangle BCE$中,$AD=CD$,$CE=BE$,$\angle ADC=\angle CEB=\alpha$.
$(1)$如图$1$,当$\alpha =60^{\circ}$时,连接$AE$,$BD$,求证:$AE=DB$；
$(2)$当$\alpha =90^{\circ}$时,$P$是$AB$的中点,连接$PE$.
①如图$2$,当$A$,$C$,$B$在同一条直线上时,连接$DP$,求证:$DP=EP$；
②如图$3$,当$A$,$C$,$B$不在同一条直线上时,连接$DE$,求$\angle DEP$的大小.