阅读以下材料:
对于三个数$a$,$b$,$c$,用$M\{a,b,c\}$表示这三个数的平均数,用$\min \{a,b,c\}$表示这三个数中最小的数.例如:
$M\{-1,2,3\}=\frac{-1+2+3}{3}=\frac{4}{3}$；$\min \{-1,2,3\}=-1$,$\min \{-1,2,a\}=\left\{\begin{array}{l}a(a≤-1)\\-1(a＞-1)\end{array}\right.$
解决下列问题:
$(1)$填空:
如果$\min \{2,2x+2,4-2x\}=2$,则$x$的取值范围为______.
$(2)$如果$M\{2,x+1,2x\}=\min \{2,x+1,2x\}$,求$x$.