如图$1$,在平面直角坐标系中,直线$AB$:$y=-\frac{3}{4}x+b$交$x$轴于点$A\left(4,0\right)$,交$y$轴正半轴于点$B$.
$(1)$求点$B$的坐标；
$(2)$如图$2$,直线$AC$交$y$轴负半轴于点$C$,$AB=BC$,$P$为线段$AB$上一点,过点$P$作$y$轴的平行线交直线$AC$于点$Q$,设点$P$的横坐标为$t$,线段$PQ$的长为$d$,求$d$与$t$之间的函数关系式；
$(3)$在（2）的条件下,$M$为$CA$的延长线上一点,且$AM=CQ$,在直线$AC$上方的直线$AB$上是否存在点$N$,使$\triangle QMN$是以$QM$为斜边的等腰直角三角形?若存在,请求出点$N$的坐标及$PN$的长；若不存在,请说明理由.