如图,在平面直角坐标系中,二次函数$y=ax^{2}+bx+c$交$x$轴于点$A\left(-4,0\right)$,$B\left(2,0\right)$,交$y$轴于点$C\left(0,6\right)$,在$y$轴上有一点$E\left(0,-2\right)$,连接$AE$.
$(1)$求二次函数的表达式；
$(2)$若点$D$为抛物线在$x$轴负半轴上方的一个动点,求$\triangle ADE$面积的最大值及此时$D$点的坐标；
$(3)$抛物线对称轴上是否存在点$P$,使$\triangle AEP$为以$AE$为腰的等腰三角形?若存在,请直接写出$P$点的坐标即可；若不存在,请说明理由.