在平面直角坐标系$xOy$中,已知二次函数$y=ax^{2}+bx+c\left(a\neq 0\right)$的图象经过不重合的三点$A\left(-1,0\right)$,$B\left(1,m\right)$,$C\left(n,2\right)$,其对称轴为直线$x=t$.
$(1)$若$m=1$,$n=0$,则$a \_\_\_\_\_\_0($填"$\gt$"或"$\lt$"）；
$(2)$若$m=2$,$n=-1$,求此时二次函数的解析式；
$(3)$当$a \gt 0$时,对于某个$n$,若存在$1 \lt m \lt 2$,使得$-1 \lt t \lt 0$成立,结合图象,直接写出$n$的取值范围.