如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC=5$,$\angle B=40^{\circ}$,点$D$为$BC$边上一动点（点$D$不与点$B$,$C$重合).以$D$为顶点作$\angle ADE=\angle B$,射线$DE$交$AC$边于点$E$.
$(1)$求证:$\angle CDE=\angle BAD$；
$(2)$试探究当$DC$的长为多少时,$AD=ED$?请给出你的结论,并说明理由；
$(3)$过点$A$在$AD$右侧作$\angle DAF=\angle BAC$,交射线$DE$于点$F$,连接$CF$.当$\triangle CEF$为等腰三角形时,求$\angle EDC$的度数.