如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,$AC=BC$,$AB=4$,点$D$为$AB$的中点,动点$P$从点$A$出发,沿线段$AB$以每秒$1$个单位长度的速度向终点$B$运动.点$P$关于点$D$的对称点为点$Q$,当点$P$不与点$D$重合时,以$PQ$为直角边向上作等腰直角$\triangle QPM$,使$\angle QPM=90^{\circ}$.设点$P$的运动时间为$t$秒.
$(1)$用含$t$的代数式表示线段$PQ\left(PQ \gt 0\right)$的长.
$(2)$当点$M$落在$\triangle ABC$的边上时,求$t$的值.
$(3)$当$\triangle PQM$与$\triangle ABC$重叠部分为三角形时,设其面积为$S$,用含$t$的代数式表示$S$.
$(4)PM$与$\triangle ABC$的直角边交于点$N$.当点$N$恰为线段$MP$的中点时,直接写出$t$的值.