已知抛物线$y=ax^{2}+bx+6\left(a\neq 0\right)$交$x$轴于点$A\left(6,0\right)$和点$B\left(-1,0\right)$,交$y$轴于点$C$.
$(1)$求抛物线的解析式和顶点坐标；
$(2)$如图,点$P$是抛物线上位于直线$AC$上方的动点,过点$P$分别作$x$轴,$y$轴的平行线,交直线$AC$于点$D$,当$PD+PE$取最大值时,求点$P$的坐标；
$(3)$点$P$是抛物线上位于直线$AC$上方的动点,$\triangle PCE$是以$PE$为腰的等腰三角形,求出$P$点坐标.