如图,直线$l_{1}$与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B\left(0,-2\right)$,且与直线$y=\frac{1}{2}x$平行.
$(1)$求直线$l_{1}$的解析式；
$(2)$在$x$轴上,点$A$左侧有一点$C$,
①若线段$AC=3$,则点$C$的坐标是______；
②若直线$l_{2}$:$y=kx+b$过点$\left(0,6\right)$,且与$x$轴的交点在线段$AC$上（包括端点）,求$k$的取值范围.