如图$1$,同学们想测量旗杆的高度.他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面,并多出了一段,但这条绳子的长度未知.小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下:
小明:①测量出绳子垂直落地后还剩余$1.5$米,如图$1$；②把绳子拉直,绳子末端在地面上离旗杆底部$6$米,如图$2$.
小亮:先在旗杆底端的绳子上打了一个结,然后举起绳结拉到如图$3$点$D$处.
$(1)$请你按小明的方案求出旗杆的高度；
$(2)$已知小亮举起绳结离旗杆$6.75$米远,此时绳结离地面多高?
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